MSc thesis of Μαρίας Πετροπαναγιωτάκη
Παραμετρικοί Αλγόριθμοι και Μητροειδή η χρήση των συνόλων αντιπροσώπευσης
Supervisor: Δημήτριος Μ. Θηλυκός
Έστω M = (E,I) μητροειδές και S = {S1,...,St} οικογένεια υποσυνόλων του E με |Si| = p ∀i ∈ {1, . . . , t}. Μια υποοικογένεια S′ ⊆ S ονομάζεται q-αντιπροσωπευτική της S, αν για κάθε σύνολο της οικογένειας S που μπορεί να επεκταθεί σε μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο προσθέτοντας του q νέα στοιχεία υπάρχει και κάποιο σύνολο της υποοικογένειας S′, το οποίο μπορεί να επεκταθεί σε μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο προσθέτοντας του τα ίδια q στοιχεία. Από το Θεώρημα Δύο Οικογενειών του Bollobás και τη γενικευσή του σε διανυσματικούς χώρους από τον Lovász, προκύπτει ότι υπάρχει q-αντιπροσωπευτική οικογένεια με το πολύ (p+q) ανά p σύνολα. Σε αυτήν την εργασία, δίνουμε δύο αλγορίθμους για την κατασκευή αντιπροσωπευτικής οικογένειας μεγέθους (p+q) ανά p. Ο πρώτος αλγόριθμος αφορά τα γραμμικά μητροειδή και «αλγοριθμοποιεί» την από- δειξη του Lovász κατασκευάζοντας οικογένεια σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς (p+q) ανά p, t και τον χρόνο που απαιτείται για την πραγματοποίηση μιας πράξης σε κάποιο σώμα F. Ο δεύτερος αφορά μόνο τα ομοιόμορφα μητροειδή και τρέχει σε O((1 − x)^{−q} · 2^{o(p+q)} · t · log n) χρόνο. Στη συνέχεια, δείχνουμε πως υπολογίζοντας αποδοτικά αντιπροσωπευτικές οικογένειες, μπορούμε να κατασκευάσουμε γρήγορους παραμετρικούς αλγορίθμους για τα ακόλουθα προβλήματα: ΤΟΜΗ l-ΜΗΤΡΟΕΙΔΩΝ, ΜΑΚΡΥΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ και k-ΜΟΝΟΠΑΤΙ.
Defended: 04 Νοεμβρίου 2016.